卡方检验（Chi-Square Test）是一类基于卡方分布的假设检验方法，常用于检验两个离散变量是否存在关联（独立性检验）、理论分布与观测分布是否一致（适配度检验）、以及在金融风控、医学研究、社会科学调查等领域广泛应用。下面将从理论概念、常见类型及其应用场景、Python 实现等方面对卡方检验做一个系统介绍。
1. 卡方检验概述
卡方检验的统计量通常记作
χ
2
\chi^2
χ2，满足卡方分布（Chi-Square Distribution）。通过计算样本数据与理论假设（或期望频数）的偏离程度，卡方检验可用于判断离散型变量之间是否独立、以及实际观测值与理论期望值之间是否存在显著差异。
在卡方检验中，最常见的有以下两种场景：
卡方独立性检验（Chi-Square Test of Independence）：
检验两个分类变量（离散型变量）之间是否存在统计学上的关联。常见于列联表分析（Contingency Table），又称卡方列联表分析。例如，研究“性别”与“是否违约”之间是否有显著关系。 卡方适配度检验（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）：
检验一组观测值与某一理论分布（或期望比率）是否匹配。例如，某金融机构认为借款人违约率应当符合“某理论比例”，但实际统计发现违约率存在偏差，需要验证差异是否显著。
卡方分布简介
定义：若随机变量
Z
i
∼
N
(
0
,
1
)
Z_i \sim N(0, 1)
Zi∼N(0,1)（独立同分布的标准正态分布），则
X
=
∑
i
=
1
k
Z
i
2
X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2
X=i=1∑kZi2 服从自由度为
k
k
k 的卡方分布，记作
χ
2
(
k
)
\chi^2(k)
χ2(k)。性质：卡方分布是一种偏度较大的分布，随自由度增加，它逐渐变得更接近正态分布。
2. 卡方独立性检验（Chi-Square Test of Independence）
2.1 适用场景
用于判定两个离散型变量是否存在统计学上的显著关联；数据通常以**列联表（Contingency Table）**表示，例如：
事件A_发生事件A_不发生总计事件B_发生n11n12n1.事件B_不发生n21n22n2.总计n.1n.2n…
这里
n
11
,
n
12
,
n
21
,
n
22
n11, n12, n21, n22
n11,n12,n21,n22 表示观测频数。
2.2 原假设与备择假设
原假设
H
0
H_0
H0：两个变量相互独立，即无显著关联；备择假设
H
1
H_1
H1：两个变量存在依赖关系，即存在显著关联。
2.3 检验统计量
卡方独立性检验的统计量通常构造如下：
计算列联表中每个单元格的观测频数
O
i
j
O_{ij}
Oij 和 期望频数
E
i
j
E_{ij}
Eij。
期望频数常用“独立性假设”下的估计：
E
i
j
=
(
行合计
)
×
(
列合计
)
样本总量
E_{ij} = \frac{(\text{行合计}) \times (\text{列合计})}{\text{样本总量}}
Eij=样本总量(行合计)×(列合计) 卡方统计量：
χ
2
=
∑
i
,
j
(
O
i
j
−
E
i
j
)
2
E
i
j
\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
χ2=i,j∑Eij(Oij−Eij)2
自由度（degree of freedom, df）：
d
f
=
(
r
−
1
)
×
(
c
−
1
)
df = (r - 1) \times (c - 1)
df=(r−1)×(c−1) 其中
r
r
r 是行数、
c
c
c 是列数。
根据卡方分布表或 p 值进行决策。
2.4 决策原则
给定显著性水平
α
\alpha
α（常见取 0.05），若计算的
χ
2
\chi^2
χ2 统计量对应的 p 值
<
α
< \alpha
<α，则拒绝原假设（认为两变量有关联）。
3. 卡方适配度检验（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）
3.1 适用场景
用于检验某个观测频数分布是否与理论分布或期望比例一致；例如：
骰子投掷6种结果的观测比率是否与“均匀分布”匹配；某金融风控模型预测客户违约率为 5%，但实际观测违约率不同，需要检验差异是否显著。
3.2 原假设与备择假设
原假设
H
0
H_0
H0：观测分布与理论分布无显著差异，或者说观测数据符合理论分布；备择假设
H
1
H_1
H1：观测分布与理论分布存在显著差异。
3.3 检验统计量
设有
k
k
k 种类型的结果，
O
i
O_i
Oi 表示观测频数，
E
i
E_i
Ei 表示理论频数。
卡方统计量：
χ
2
=
∑
i
=
1
k
(
O
i
−
E
i
)
2
E
i
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
χ2=i=1∑kEi(Oi−Ei)2
自由度：
d
f
=
k
−
1
−
(被估计的分布参数数目)
df = k - 1 - \text{(被估计的分布参数数目)}
df=k−1−(被估计的分布参数数目)
如果理论分布中参数（如均值、方差等）是由数据估计得到的，需要相应地减少自由度。 与卡方分布进行比较或计算 p 值，做出决策：若
χ
2
\chi^2
χ2 较大或 p 值 <
α
\alpha
α，拒绝原假设。
4. Python 中的卡方检验
Python 的 scipy 库中为卡方检验提供了常用的函数，如：
scipy.stats.chi2_contingency：适用于独立性检验和R×C 列联表的分析；scipy.stats.chisquare：适用于适配度检验（一维频数对比），也可用于单行或单列的列联分析。
4.1 独立性检验示例（chi2_contingency）
import numpy as np
from scipy.stats import chi2_contingency
# 1. 构造列联表数据
# 假设我们想研究“是否逾期”与“性别”之间是否相关
# 行：性别 (Male / Female)
# 列：是否逾期 (Overdue / NotOverdue)
contingency_table = np.array([
[30, 70], # 男性: 逾期=30, 未逾期=70
[20, 80] # 女性: 逾期=20, 未逾期=80
])
# 2. 进行卡方独立性检验
chi2, p_value, dof, expected = chi2_contingency(contingency_table)
print("Chi-square statistic:", chi2)
print("p-value:", p_value)
print("Degrees of freedom:", dof)
print("Expected frequencies:\n", expected)
输入：contingency_table 是 2×2 的列联表。输出：
chi2：卡方检验统计量；p_value：显著性水平下的 p 值；dof：自由度；expected：理论频数（若变量独立的话）。
如果 p_value < 0.05（例如），可拒绝原假设，认为性别与逾期存在显著关联。
4.2 适配度检验示例（chisquare）
import numpy as np
from scipy.stats import chisquare
# 1. 观测频数
observed = np.array([50, 30, 20]) # 某三类情况的观测频数
# 2. 理论频数（期望频数）
expected = np.array([45, 35, 20]) # 理论上或经验上预估的频数
# 3. 卡方适配度检验
chi2_stat, p_value = chisquare(f_obs=observed, f_exp=expected)
print("Chi-square statistic:", chi2_stat)
print("p-value:", p_value)
若 p_value < 0.05，说明观测频数与期望频数差异显著，拒绝“匹配”假设。
5. 卡方检验在金融风控中的应用
5.1 特征筛选（变量分箱与卡方分箱）
在评分卡建模中，常见做法是对连续变量进行分箱（将取值范围分成多个区间）。为了衡量分箱后“是否能区分好违约和非违约人群”，会使用卡方分箱（Chi-square Binning）：
初始时将每个取值或小区间视为独立箱；计算卡方值并合并最相似的箱，直到满足预设箱数或卡方阈值。最终得到分箱区间，提升特征区分度。
5.2 贷款违约率差异分析
假设要分析不同性别/年龄段/职业与贷款违约之间的关联；将性别或年龄段（离散区间）与违约情况构成列联表，做卡方独立性检验；若卡方值显著，说明该特征与违约有关，可考虑纳入评分卡或风险模型。
5.3 风险分布对比（适配度检验）
在压力测试或模型监控中，金融机构假设市场波动下的损失分布应符合某风险模型的预测；通过收集实际损失数据并与理论分布做卡方适配度检验，可判断模型在当前市场环境下是否仍然有效。
6. 注意事项与常见误区
期望频数过小：
若在列联表某些格子的期望频数（expected frequency）过小（< 5），卡方检验结果可能不稳定；可考虑合并某些行/列，或使用其他检验（如确切概率检验、Fisher’s Exact Test）。 使用场景：
卡方检验主要适用于分类（离散）变量；连续型变量需要先分箱或离散化，否则无法直接进行卡方检验。 自相关或配对数据：
卡方检验假设样本独立。若数据存在配对、重复测量等，需要用更合适的方法。 检验结果的解释：
拒绝原假设，并不表示两变量具有因果关系，只代表在统计意义上有关联。需要结合业务逻辑或额外实验来判断因果性。 多重检验问题：
在大规模变量筛选（如评分卡建模中），频繁使用卡方检验，会造成多重比较问题，需要调整显著性阈值（如Bonferroni校正）或综合指标选择特征。
7. 总结
卡方检验是一类基于卡方分布的假设检验方法，广泛用于两个离散变量的独立性检验、观测分布与理论分布的适配度检验等场景。在 金融风控 与 评分卡建模 中，常用于：
特征筛选（卡方分箱）；差异分析（人口统计特征与违约行为的相关性）；模型监控（实际分布与模型预测分布是否相符）。 使用 Python 中的 scipy.stats.chi2_contingency 和 chisquare 可以方便地进行卡方独立性检验和适配度检验。检验结果需注意期望频数是否足够大，并正确解读统计结果。卡方检验只能说明是否存在显著性差异或关联，而不代表因果关系。
如果在实际业务中需要大量进行卡方检验（例如对多种特征变量），建议：
结合 业务理解 判断变量是否具备潜在关联；关注 期望频数 分布；处理 多重检验 所带来的 Type I error 风险；与 其他指标（如 IV 值、信息增益、WOE 等）结合综合评价。
参考与进一步阅读
Scipy 官方文档 - chi2_contingencyScipy 官方文档 - chisquare卡方检验（维基百科）